十三 赖可 发自 凹非寺
纳米位 报导 | 微信公众号 QbitAI设想一下，当你的牛仔裤子破了很多洞，每一洞样子各不相同，可是总宽也不超出1公分。
该怎样设计一个通用的补丁，可以把全部的洞都补好呢？
这一难题在数学课上称为：万有覆盖难题（universal covering problem)。
早已让物理学家思索了一百年。
乍一听上来，这好像一个非常简单的难题。
可是略微想一想，好像又不这么简单。
例如一个凌长为1的等腰三角形，和一个直径为1 的环形，二者的直径都为 1。
可是，这一三角形就不可以被环形覆盖。
而近期，一个离休程序猿，用普通高中方式 获得了最新消息。
为何那么难？
这一难点的的倡导者，荷兰著名数学家：勒贝格(Henri Léon Lebesgue)。
△Henri Léon Lebesgue
他明确提出了勒贝格积分，扩宽了积分学的科学研究范畴。
在1914时，他给最好的朋友Julius Pál（都是物理学家）寄信时提了一个难题：
在一个平面图上，找一个最少区域，让它能够 覆盖直径不超出1个企业的总面积？
直径不超出1个企业的随意样子，就是说一个封闭式曲线图的边沿上，比较远二点的间距不超出1个企业。
这一难题较难的一部分是：
没法穷举全部直径为1的样子究竟长哪些模样。
直径为1的样子千万种，究竟用哪样全能补丁才可以所有覆盖他们呢？
万有覆盖“通用”方式
可是这一难题并不会太难入门，要是给你高中数学基本，就能够 试一下。
接下去，我们一起一起看一下物理学家们现阶段处理这一难题的方式 。
从直径为1的必须覆盖的区域R下手。
尽管不清楚R长哪些模样，可以明确的一点是：它絕對不容易超出1个企业的总宽。
那麼就先假定它有2个点——A和B，间距为1个企业。
如今，人们假定除开A和B以外，在R区域内还存有一个点C。
那麼C将会在哪儿呢？
它不太可能超过A的1个企业，这代表它务必在以A为圆心点且半经为1的圆中。
但此外一个难题是，C和B的间距也不可以超出1个企业。
因此C也务必在以B为圆心点且半经为1的圆中。
因此，C的部位就明确在了2个环形的并集部位。
到A和B的间距不可以超出1，这一标准不仅适用点C，还适用区域R中的每一点。
因此R中的每一个点都务必坐落于这2个圆的并集区域中。
换句话，这一区域能够 覆盖直径为1的全部将会的R集，是一个万有覆盖区域。
可是这一区域并不是最少总面积，必须对它开展一下剪修。
留意，圆的交点点产生2个等边三角形，端点各自是是A、B，及其间距AB圆心安全距离为√3/2的左右2个点。
由于√3/2超过1/2，人们能够 画两条平行线，与AB平行面，间距AB 1/2个企业。
如今，考虑到下面的图中鲜红色的区域。
由于2个直线中间的间距为1个企业，因此直径为1的结合不太可能另外出現在2个鲜红色区域。就能够 除掉一个。
那样万有覆盖总面积从原先的(2π/3)-(√3/2)≈1.228，降低到(π/2)-1/2≈1.071
从一个基础的万有覆盖刚开始，能够 根据除掉一个无关痛痒的一部分，来变小它的总面积。
这就是说物理学家们获得最少万有覆盖的方式 。
提升方式 ：Pál六边形
根据更优秀的技术性，人们还能寻找一些别的的简易样子。
Pál运用定宽曲线图的特点说明：
即便直径为1的一组曲线图，将会是从直径1的圆中“伸”出去，它也一直能够 根据挪动或转动，以融入排成这一圆的六边形。
下面的图就展现了Pál明确提出的，能够 覆盖各种各样样子(直径为1)的六边形。
图中正中间的样子是一个勒洛三角形(Reuleaux triangle)，它是一个与人们上一一下段提及的万有覆盖息息相关的定宽曲线图。
勒洛三角形是一个弧三角形，根据三个同样的圆能够 得到。
这一六边形的总面积是√3/2≈0.866，比人们上一下段所获得的总面积也要小。
但Pál也表达，并不一定全部六边形。
他根据恰当的转动，除掉了一些不相干一部分。
最先，将2个Pál六边形层叠在一起。
在其中一个六边形绕管理中心转动30度。
出现了6个红色小三角形。
每个红色小三角形，都处在未旋转六边形的外部，以及旋转六边形的内部。
由于每个六边形平行对边的距离是1个单位，所以对着的两个红色小三角形中的点距离肯定大于1个单位。
也就是说，一组直径为1的形状不可能同时出现在两个相对的红色小三角形中。
按照上一小节的思路，可能会觉得应该能从6个小三角形去掉3个小三角形，但实际上是不行的。
因为一个六边形旋转60度，或者对称翻转一下，都不会发生形状的改变。
所以从相对的一对中选择一个红色三角形只有两种不同的方法：
3个三角形可以是连续的，也可以是交替的。
但是，我们可以去掉2个这样的小三角形。Pál就是这么做的。
他从他的六边形上切下两个三角形，得到一个保证能覆盖所有直径为1的区域的新形状。
这种新的万有覆盖的面积是2-2/√3≈0.8453，比六边形面积略小一些。
但是Pál六边形并不是最优解。
在此基础上，数学家和数学爱好者们继续修修剪剪。
在1992年，数学家Roland Sprague和HC Hansen在Pál六边形上减去了三个小细条。
使面积缩小为0.844137708416。
Sprague减少了0.001单位面积，Hansen减少了0.00000000004单位面积。
退休程序员用高中几何，两次逼近极限
然后二十年过去了，这个问题毫无进展。
直到2014年，一位叫做Philip Gibbs的退休软件工程师尝试解决这个数学问题。
他利用自己的编程背景优势，尝试用电脑解来解决。
△Philip Gibbs
Gibbs首先对200个随机生成的直径为1的形状进行了计算机模拟。
这些模拟结果表明，他或许能够修剪一个最小万有覆盖空间顶部角落的一些区域。
随后，他证明了新的覆盖对所有可能的直径为1的形状都适用。
2015年2月，Gibbs和两位共同研究者将论文发表在了网上。
△论文地址：https://arxiv.org/abs/1502.01251
他们把最小万有覆盖面从0.8441377减少到0.8441153单位面积。
他的策略是将所有直径为1的形状移到他早些年发现的万有覆盖的某一角。
然后把对角部分剩下的任何区域都去掉；然而从节省面积测量的角度来说，却是非常精确的。
虽然此次减小的单位面积只有0.0000224，但这却几乎是汉森在1992年减少的面积的100万倍！
然而，这并未阻止他进一步的“裁剪”。
2018年10月，Gibbs独自又发布了一篇文章，再次将最小万有覆盖面积缩小。
△论文地址：https://arxiv.org/abs/1810.10089
要知道，在Gibbs的基础上再缩小覆盖面积实属不易。正如来自加州大学河滨分校的数学家约翰·贝兹所说：
你不可能真的把这些碎片画出来，因为他们都是原子大小的。
而Gibbs却再次突破了极限，堪称原子剪刀。
这一次他的着手点是上图中的点A和点E。
最终，通过这次研究，得到的最小面积就是0.8440935944。
值得一提的是，实验方法基本都属于高中几何知识。
正如贝兹所评价：
从数学角度来说，这只是高中几何难度，但是它几乎让人为之疯狂。
极限挑战，仍将继续
问题虽然还没有最终解决，但是在2005年的时候，有数学家计算出了这个问题的理论下限，万有覆盖范围不能小于0.832单位面积。
抵达终点最后一步步依旧等待人来跨越，困难之处依旧在于，直径唯一的形状千变万化，最后给出的范围需要涵盖所有可能性。
如果你做到了，名字就将载入数学史。
传送门
QuantaMagazine博客：
https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/
https://www.quantamagazine.org/amateur-mathematician-finds-smallest-universal-cover-20181115/
GitHub项目地址：
https://github.com/guadaran/lebesgue-universal-covering-problem
作者系网易新闻·网易号“各有态度”签约作者
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（责任编辑：何一华 HN110）
